EL ÁRBOL DE EXPANSION MINIMA

El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en al solución del problema.

Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características:

1. Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y tiempo.)

2. Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos.

3. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red.

4. Un árbol de expansión es un árbol que enlaza todos los nodos de la red, también sin permitir ciclos.

Una red con n nodos requiere sólo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante formen un árbol de expansión. Por tanto el problema es hallar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras.

Algoritmo para construir el árbol de expansión mínima:

1. Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano.

2. Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que todos los nodos están conectados.

3. Empates: los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el nodo no conectado más cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar a una solución optima. No obstante, estos empates son señal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones optimas múltiples. Todas esas soluciones se pueden identificar si se trabaja con las demás formas de romper los empates hasta el final.

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Ejemplo

1.- Grafo Original, los números de las aristas indican su peso.

AD y CE son las aristas con menor peso 5, por eso son resaltadas.

La siguiente arista con peso 6, ha sido resaltada utilizando el mismo método.

Las siguientes aristas mas pequeñas son AB y BE, ambas con peso 7.

Finalmente, el proceso termina con la arista EG de peso 39, y se ha encontrado el árbol de expandido mínimo.