MODELOS DE COLAS CON DOS O MÁS

SERVIDORES

Supuestos:

·         S.1 Una población de clientes infinita.

·         S.2 Proceso de llegada: los clientes llegan de acuerdo a una distribución de Poisson con una tasa promedio de λ clientes por unidad de tiempo.

·         S.3 el proceso de colas consiste en una sola cola o línea de espera de capacidad infinita con una disciplina de cola “el primero que llega el primero que se sienta” (FIFO).

·         S.4 Proceso de servicio, consiste en “C” servidores idénticos, cada uno de los cuales atiende a los clientes de acuerdo a una distribución exponencial con una cantidad promedio de μ clientes por unidad de tiempo.

Para que un sistema de colas simple con servicio múltiple alcance la condición de estado estable la tasa

promedio total de servicio:  C*μ  debe ser estrictamente mayor que la tasa promedio de llegada: C*μ > λ.  Si este no es el caso se espera que el sistema ese congestionado.

 Las ecuaciones que se utilizan:

TEORÍA DE COLAS

Los clientes que requieren un servicio generan una fuente de entrada de un sistema y se unen a una cola, en determinado momento se selecciona mediante alguna regla conocida como disciplina del servicio después el ciente sale del sistema de cola.

Elementos existentes en un modelo de colas

•  Fuente de entrada o población potencial: Es un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande. Dicha suposición de infinitud no resulta restrictiva cuando, aun siendo finita la población potencial, su número de elementos es tan grande que el número de individuos que ya están solicitando el citado servicio prácticamente no afecta a la frecuencia con la que la población potencial genera nuevas peticiones de servicio.

• Cliente: Es todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<..., será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos: consecutivos: clientes consecutivos: T{k} = tk - tk-1, fijando su distribución de probabilidad. Normalmente, cuando la población potencial es infinita se supone que la distribución de probabilidad de los Tk (que será la llamada distribución de los tiempos entre llegadas) no depende del número de clientes que estén en espera de completar su servicio, mientras que en el caso de que la fuente de entrada sea finita, la distribución de los Tk variará según el número de clientes en proceso de ser atendidos.

• Capacidad de la cola: Es el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma.

• Disciplina de la cola: Es el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son:

La disciplina FIFO (first in first out), también llamada FCFS (first come first served): según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado.

La disciplina LIFO (last in first out), también conocida como LCFS (last come first served) o pila: que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último.

La RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria.

• Mecanismo de servicio: Es el procedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno.

• La cola, propiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio.

• El sistema de la cola: es el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. Estos elementos pueden verse más claramente en la siguiente figura:

Un modelo de sistema de colas debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor.

NOTACIÓN KENDALL

 [Dist, del tiempo de llegada]/[Dist. del tiempo de servicio]/[# de servidores]

Por ejemplo:

M/M/2: Supone que la distribución de los tiempos de llegada y de servicio son  exponenciales con dos servidores.

M/G/1: Supone que la distribución de llegada es exponencial, pero no pone restricciones  a los tiempos de servicio, el número de servidores es 1.

• SUPOSICIONES DEL MODELO

El modelo es de un solo canal y una sola fase, es uno de los modelos de colas más sencillo y mas ampliamente utilizados implica suponer que existen 7 condiciones:

1. Las llegadas se atienden sobre una base poisson con un sistema de atención exponencial con un solo cajero.
2. Cada llegada espera hacer atendida independientemente de la longitud de la fila, es decir no se elude ni se rehúsa.
3. Las llegadas son independientes pero su numero promedio(la tasa de llegadas) no cambia a lo largo del tiempo.
4. Las llegadas se describen con una suposición de probabilidad de poisson y proviene de una población infinita o muy grande.
5. Los tiempos de servicio varia de un cliente al siguiente y son independientes entre si , pero se conoce su tasa promedio.
6. Los tiempos de servicio ocurren de acuerdo con una distribución de probabilidad exponencial negativa.
7. La tasa de servicio promedio es mayor que la tasa de llegada promedio.

EJEMPLOS:

1)

2)

INVENTARIO PROBABILISTICO

Este tipo de problemas llamado también modelo de inventario estocástico que esta diseñado para analizar sistemas de inventario donde existe una gran incertidumbre sobre a demanda futura.

Un sistema de inventario de revisión continua, el nivel de inventario se supervisa en forma continua por la que una orden se coloca cuando el nivel  de inventario llega al punto de reorden, por lo tanto el sistema de inventario de revisión continua se  basa en dos numero críticos:

        PRO= punto de reorden      y    Q= cantidad a ordenar

Siendo la política de inventario cuando un producto se encuentre en el punto de reorden se debe realizar un pedido de Q unidades para reabastecer el inventario, con frecuencia a este proceso se llama "POLÍTICA (PRO,Q)" .

La ecuación utilizada para determinar el punto de reorden, cuando  la demanda durante el tiempo de entrega tiene una distribución normal es :

Existen 3 situaciones por considerar en cada una de las siguientes formas para el PRO, la demanda promedio durante el tiempo de entrega es el primer termino y el inventario de seguridad es el segundo.

MODELO EOQ CON DESCUENTOS POR CANTIDAD

El modelo EOQ con descuentos por cantidad es una extensión del modelo básico de EOQ revisado en la sección anterior y mantiene sus supuestos. Se asume que el costo de adquisición (Cp) disminuye en la medida que aumenta el tamaño de lote. Adicionalmente se considera que el costo de almacenar una unidad en inventario es un porcentaje (I) del costo de adquisición.

• PROCEDIMIENTOS:

1. Encuéntrese el EOQ (Q*).
2. Para cada Cj donde Q*j se encuentra dentro del intervalo factible de cantidades a ordenar Cj, calcule el costo total correspondiente por unidad de tiempo(Tj).
3. Para cada Cj donde Q*j no esta dentro del intervalo factible, determine la cantidad a ordenar que se encuentra en el flujo terminal al mas cercano a Q*j y proceda a calcular el costo total por unidad de tiempo Tj.
4. Compare los Tj obtenidos para todos los Cj y elijan el Tj , despues seleccione la cantidad a ordenar Q*j.
5. Obteniendo en el paso 2  y 3 que da el Tj mínimo:

D = Demanda anual de producto

C = Costo del producto por unidad

Q = Cantidad optima a pedir

h = Costo anual de inventario 

• EJEMPLO:

1. Una empresa esta interesada en adquirir cajas para CD (10 unidades por caja), el valor unitario de cada caja depende de la cantidad adquirida de acuerdo a los valores de la tabla. La empresa requiere almacenar 10000 discos al año, el costo de emitir una orden se estima en 100 dolares, el costo unico de mantensión de unidades esta asociado al costo de oportunidad del capital, el cual se asume 20 % al año. 

Cada vez que se emita una orden : ¿Cuantas cajas para CD deben ser ordenadas?, ¿Cual es el costo total anual de satisfacer la demanda de  la empresa?

Se debe hacer un pedido de 300 discos con un costo anual de 50288 dólares .

2. Una empresa que se dedica a la venta de computadoras, busca la manera de minimizar los costos anuales relacionados con la compra de tarjetas de video. La empresa después de revisar su documentación de los costos se da cuenta que el costo de pedir es igual a $20 unidades monetarias y que el costo de almacenamiento es igual al 18% del valor el inventario. Además su proveedor le suministra la siguiente lista de descuento por compras al por mayor para las tarjetas que emplea:

Cantidad de tarjetas	Precio por tarjeta
0-300	$10
301-500	$9.8
501-en adelante	$9.7

Halle la cantidad óptima a pedir que reduzca el costo total.

Anual mente la empresa requiere 1000 unidades de esta tarjeta.

Después de tener la información anterior, lo primero que se debe hacer es buscar el óptimo de pedido para cada descuento que se suministra, en este caso a partir del modelo EOQ sin faltantes.

MODELO EOQ CON FALTANTES

El modelo EOQ(cantidad economica de pedido) con faltantes al igual que el modelo sin déficit es de modalidad de compras y  rigen los mismos postulados, sin embargo su diferencia radica en que en este modelo si se admiten faltantes, es decir, cuando nos quedamos sin inventario y aun se necesitan mas cantidades para satisfacer la demanda.

En la siguiente gráfica se  muestra el comportamiento del modelo EOQ con faltantes relacionando la cantidad a pedir vs el tiempo

D: demanda

Q: Cantidades a pedir.

Imax: Inventario máximo.

S: Cantidades faltantes

T1: Tiempo en el cual se agota el inventario máximo en relación a la demanda.

T2: Tiempo en el cual no existe inventario para satisfacer a la demanda.

p: Costo del faltante.

S: Nivel de inventario.

Q-S: Número máximo de faltantes permitido.

EJEMPLOS:

1. Una empresa fabricadora de perillas tiene una demanda de 1800 unidades anuales .El costo de pedido es de $30.000. El costo por mantener el inventario es de $2000 por unidad. Cada perilla que falta cuando se necesita es de $10.000.Cual será su EOQ.

2. La BEER COMPANY, el bar más prestigioso de Bogota, tiene una demanda mensual de 12.000 cervezas, el costo de pedido es de $8.000 y el costo de mantenerlas refrigeradas es de $2.000 y el costo de faltante por unidad es de $1000.Calcule el EOQ.

PUNTO DE REORDEN

• Definición:

Es el tiempo entre colocar una orden y recibirla llamado tiempo de entrega con frecuencia demora algunos días, el inventario debe estar disponible para cumplir con la demanda durante este tiempo por lo que se hace necesario el Punto de Reorden para evitar quedar en el almacén.

•          d : Demanda diaria
•          L: Número de días que demora en llegar el pedido
• Cuando Pro > Q

POSICIÓN INVENTARIO = INVENTARIO EN ALMACÉN + I. ORDENADO

• EJEMPLO:

Una empresa enfrenta una demanda anual de 1.000 unidades de su principal producto. El costo de emitir una orden es de $10 y se ha estimado que el costo de almacenamiento unitario del producto durante un año es de $2,5. Asuma que el Lead Time (Tiempo de Espera) desde que se emite una orden hasta que se recibe es de 7 días. Determine la cantidad óptima de pedido utilizando EOQ que minimiza los costos totales. ¿Cuál es el punto de reorden (ROP)?

El tamaño óptimo de pedido (Q*) que minimiza los costos totales es 90 unidades. Adicionalmente, cada vez que el inventario llega a 20 unidades se emite un nuevo pedido por 90 unidades.

TEORÍA DE INVENTARIO

Para cumplir a tiempo con la demanda, las empresas mantienen con frecuencias existencias a la espera de su venta. El objetivo de la teoría de inventario es determinar reglas que puedan aplicar la gerencia para reducir al mínimo costo relacionados con el mantenimiento de existencias y cumplir con las demandas del consumidos. Los modelos de inventarios responden las siguientes preguntas:

• ¿Cuando se debe pedir un producto?
• ¿Cuanto se debe pedir del producto?

MODELO DETERMINISTICO DE REVISIÓN CONTINUA

La situación mas común , que enfrentan los fabricantes , distribuidores y comerciantes es que los niveles de inventario se reducen con el tiempo, y después se reabastecen con la llegada de nuevas unidades. Una representación de esta situación es el modelo EOQ ( Economic Order Quantity).

Para este tipo de modelo los únicos costos considerados son:

• k : Costo de preparación de un pedido.
• c: Costo de producir o compra de cada unidad.
• h : Costo de almacenamiento en inventario por unidad.

El objetivo consiste en determinar con que frecuencia y en que cantidad reabastecer el inventario de manera que se minimicen la suma de estos costos por unidad de tiempo.

Suposición del Modelo EOQ

1. Se conoce la tasa de demanda (d) por unidad de tiempo.
2. La cantidad a ordenar (Q) para reabastecer el inventario llega a toda junta cuando se desea.
3. No se permiten faltantes.

• En general la longitud del ciclo es :
  
  
  
                                                   
  
  
  
• El costo por producir u ordenar por ciclo:

• El costo de mantener en inventario por ciclo:

Por lo tanto el costo total por ciclo es :

Entonces el costo por unidad de tiempo :

Por lo tanto es costo total es :

Ct = (costo de ordenar ) +( costo de producción) + ( costo de inventario )

• El valor de Q se hace apliacando la primera derivada del costo total:

EJEMPLOS

1.-  

 2.-